PID控制器（Proportion Integration Differentiation）

俗稱(chēng)比例-積分-微分控制器，分別由比例單元（P）、積分單元（I）和微分單元（D）組成。一般來(lái)說(shuō)，通過(guò)調整這三個(gè)單元的增益Kp，Ki和Kd來(lái)確定PID控制特性。其實(shí)PID控制器是一類(lèi)控制器，而其實(shí)控制器有很多種，比如：P控制器，PI控制器，PD控制器等。

看完這段PID的描述，也許很多人就已經(jīng)讀不下去了，PID控制器到底和我們的現實(shí)生活有什么聯(lián)系??？怎么能讓一個(gè)控制小白也很容易地理解這件事呢？

那么，讓我們來(lái)舉個(gè)通俗易懂的例子，幫助大家更加通俗易懂地理解PID到底是干什么的！

先講個(gè)故事，古希臘哲學(xué)家芝諾曾提出過(guò)一條著(zhù)名的悖論：阿喀琉斯是古希臘神話(huà)中十分善跑的英雄。在他和烏龜的賽跑競賽中，他的速度為烏龜十倍，烏龜在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜。

為什么呢？因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點(diǎn)，當阿喀琉斯追到100米時(shí)，烏龜已經(jīng)又向前爬了10米，于是，一個(gè)新的起點(diǎn)產(chǎn)生了；阿喀琉斯必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10米時(shí)，烏龜又已經(jīng)向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那個(gè)1米。

就這樣，烏龜會(huì )制造出無(wú)窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜。

看到這里大家是不是感覺(jué)到這似乎是一個(gè)死循環(huán)...

這就是鼎鼎有名的芝諾悖論！而該悖論的原理其實(shí)是一個(gè)時(shí)間問(wèn)題，這里不是我們解釋的重點(diǎn)。

▲芝諾悖論

那善跑將軍阿喀琉斯就永遠不會(huì )贏(yíng)嗎？借著(zhù)這個(gè)故事，我們可以給阿喀琉斯設計一個(gè)PID控制系統，指導阿喀琉斯去追上烏龜，并且還可以一直跟隨烏龜，跑過(guò)了還可以再跑回來(lái)，直到和烏龜保持同一個(gè)位置。

在這個(gè)過(guò)程中，我們相信可以憑借這個(gè)“假想”幫助大家很好地理解PID控制的原理及各參數的物理意義。

首先，還是要普及一下基礎概念：

· PID控制器對反饋系統中的誤差進(jìn)行操作并執行以下操作

1. PID控制器計算一個(gè)與誤差成比例的項- P項；

2. PID控制器計算一個(gè)與誤差積分成比例的項——I項；

3. PID控制器計算一個(gè)與誤差導數成比例的項——D項；

4. 這三項——P項、I項和D項——加在一起就產(chǎn)生了應用于被控制系統的控制信號。

▲PID控制示意圖

具體的傳遞函數就是三項加起來(lái)：PID(s) = Kp + Ki/s+ sKd

比例項就是誤差與比例參數的乘積，積分項就是過(guò)去一段時(shí)間內積累的誤差和。微分項是未來(lái)一段時(shí)間誤差的變化。

看到這里很多工友就已經(jīng)腦袋暈了，別慌，繼續看下去你就明白了。

PID控制器主要適用于基本上線(xiàn)性，且動(dòng)態(tài)特性不隨時(shí)間變化的系統。然而，PID控制器的厲害就在于它就是一個(gè)公式打天下，即只要用按公式計算，就能知道執行機構的具體動(dòng)作，并且把受控系統控制在想要的位置?？吹竭@里，大家應該產(chǎn)生了一個(gè)新疑問(wèn)，那么控制里講的受控系統和執行器是指什么呢？

受控系統就是我們要控制的對象，當左側手按彈簧的時(shí)候，當手松開(kāi)，彈簧還能維持到一個(gè)固定的高度不變，這個(gè)過(guò)程是自穩定過(guò)程（不帶積分特性的過(guò)程對象），屬于自穩定受控系統。

而右側如果用手去按一個(gè)橡皮泥，把手松開(kāi)，橡皮泥軟在桌面上恢復不了原來(lái)的高度，這個(gè)過(guò)程是一個(gè)非自穩定過(guò)程（帶積分特性的過(guò)程對象），屬于非自穩定受控系統。

▲自穩定過(guò)程和非自穩定過(guò)程

下面再舉個(gè)受控系統的一個(gè)簡(jiǎn)單示例，說(shuō)明通過(guò)加熱系統控制室溫的過(guò)程，是個(gè)自穩定過(guò)程。傳感器測量室溫并將溫度值傳送給控制器?？刂破鲗斍笆覝嘏c設定值進(jìn)行比較，并計算加熱控制的輸出值（調節變量）。

▲室溫控制流程圖

為什么室溫控制是一個(gè)自穩定過(guò)程呢？當不進(jìn)行加熱或制冷操作的時(shí)候，室內溫度和室外溫度經(jīng)過(guò)一定時(shí)間熱交換后是基本不變,室溫還會(huì )緩慢的穩定。是不是很像上圖中的彈簧？

對比上面的模型之后，我們再將目光轉回到阿喀琉斯和烏龜賽跑的問(wèn)題上，用PID來(lái)解釋一下，如下圖：

▲賽跑問(wèn)題PID控制流程圖

▲比賽位置示意圖

此時(shí)我們的PID控制器可以派上用場(chǎng)了！我們先來(lái)設定一場(chǎng)比賽，為了增加難度，將阿喀琉斯放置在一個(gè)1000米長(cháng)的速度恒定的跑步機上，假設烏龜在平地上沿跑步機爬直線(xiàn)，并且在阿喀琉斯前面100米。

控制模型：阿喀琉斯以PID控制的方式用在跑步機上追趕烏龜；

設定值：烏龜的位置

實(shí)際值：阿喀琉斯的位置

輸出值：阿喀琉斯的跑步速度

測量傳感器：裁判的眼睛

執行對象：阿喀琉斯

正執行：向前跑

反執行：向后跑

首先要解決的問(wèn)題是比賽范圍，在這場(chǎng)比賽之前要限定一下坐標系和范圍，要讓烏龜和阿喀琉斯在一個(gè)特定范圍里來(lái)比賽，跑道只有1000米。目前已知烏龜在阿喀琉斯起跑位置前的100米，那么這個(gè)時(shí)刻，用烏龜的位置減去阿喀琉斯的位置就是絕對偏差，即100米，PID系統會(huì )依據已知條件告訴我們什么呢？先只用比例調節P參數，我們隨便給一個(gè)默認初始值，比例系數是預估的比如P=2.0（沒(méi)有單位）。但是問(wèn)題來(lái)了，這時(shí)候難道我們要告訴阿喀琉斯去跑100米*2.0=200米嗎？

當然不是，PID在運行之前是要限制烏龜位置的，需要指定烏龜只能在0到1000米的范圍內進(jìn)行直線(xiàn)活動(dòng)，那么烏龜在初始時(shí)刻的100米就可以歸一化為10%了，這個(gè)時(shí)候PID控制器就可以知道告訴阿喀琉斯開(kāi)始要用20%的速度去跑。

▲參數定義歸一化

但是總不能讓阿喀琉斯一直用20%的速度跑吧！如果幾年之后再通知阿喀琉斯，即使只用20%的速度跑，阿喀琉斯可能已經(jīng)繞地球一周回來(lái)了。雖然我們第一個(gè)問(wèn)題做了限制，阿喀琉斯跑到終點(diǎn)就停了。所以，第二個(gè)要解決的問(wèn)題是多長(cháng)時(shí)間通知一次阿喀琉斯？

▲執行周期設定過(guò)大

在純比例模型下P=2.0不考慮積分和微分。如果0.01毫秒通知一次阿喀琉斯，那會(huì )有兩個(gè)問(wèn)題：一則測量系統會(huì )很累，需要瞬間知道阿喀琉斯的精確位置，再需要知道烏龜的精確位置，姑且不說(shuō)阿喀琉斯能不能在這么短的時(shí)間內的接收到命令，即便能接收到命令，在還沒(méi)來(lái)得及執行的時(shí)候就收到第二條命令了。二則因為誤差基本沒(méi)消除，所以命令還是19.99999%的速度（解釋一下這里，因為在0.01毫秒的時(shí)間后，阿喀琉斯和烏龜之間的距離，也就是誤差縮小了，所以計算結果也會(huì )相應的有微小變化），然后下一個(gè)0.01毫秒收到19.99999%速度，即使發(fā)100次也許還是19.999，也許阿喀琉斯需要3秒（3秒：超級跑車(chē)百公里加速時(shí)間）才能加速到20%。所以通知的太頻繁，超過(guò)了執行機構的執行能力，做的都是無(wú)用功。

▲執行周期設定過(guò)小

所以大家看出來(lái)了，要想完成好比賽，我們需要對阿喀琉斯的加速能力有很充分的了解。他雖是古希臘英雄，但一定不是神。這就和我們玩游戲需要看一下英雄的能力面板一樣，而提升能力需要不同模式的打怪升級，每次升級之后，還需要再去Check下英雄的能力值是如何提升的。

我們用兩張圖表，來(lái)看一下，當對阿喀琉斯下達命令之后，他會(huì )有什么樣的執行能力，下邊兩張圖示中，第一張圖表中的橫軸代表時(shí)間，縱軸代表對阿喀琉斯的指令。第二張圖表是同一個(gè)時(shí)間范圍內，阿喀琉斯的實(shí)際動(dòng)作情況。

▲執行機構能力考核

先看縱軸Y表示PID系統告訴阿喀琉斯用100%的速度去跑，X表示阿喀琉斯的實(shí)際跑步速度，看看阿喀琉斯到底能跑多快，Tu就是阿喀琉斯聽(tīng)到命令的起跑時(shí)間，Tg就代表阿喀琉斯從靜止跑到最快的理論加速度時(shí)間，于是我們用這個(gè)比值大體評價(jià)一下阿喀琉斯到底是超能力的神還是一個(gè)普通英雄？

▲根據執行機構能力分類(lèi)

如上表，根據Tu和Tg的比值，我們把受控系統分為I型，II型和III型。

假設測試的阿喀琉斯是屬于I型的受控系統，可以很好的被控制，根據測試結果用比較合適的采樣和執行周期，比如每5秒鐘檢測一次位置情況并分別用P模型PI模型和PID模型來(lái)說(shuō)明一下具體追趕過(guò)程。

第一種模型：在P模型下，只有比例環(huán)節P=2，周期為2秒通知。第一個(gè)2秒阿喀琉斯跑了55米，烏龜爬了0.01米，誤差還有4.5%，PID算法得出下面需要用9%的力量去跑，又過(guò)了2秒，阿喀琉斯還落后烏龜1米，那么阿喀琉斯需要用2%的速度向前跑，又過(guò)了2秒，阿喀琉斯還落后了烏龜1米，控制系統告知阿喀琉斯需要用2%的速度向前跑，結果1個(gè)小時(shí)過(guò)去了，阿喀琉斯始終在烏龜的后面1米的位置，2%的速度基本和跑步機向后的速度相當了，始終無(wú)法與烏龜位置一致。系統已經(jīng)穩定了，還始終存在這樣一個(gè)偏差，就是穩態(tài)誤差，看來(lái)想要消除這個(gè)誤差，我們需要用下一個(gè)模型-PI模型。

▲比例P模型參考圖

第二種類(lèi)型，在PI模型下，在加入了積分環(huán)節后，假設積分時(shí)間設為30秒，那么根據公式，要計算阿喀琉斯在過(guò)去的30秒總共累積了多少誤差（即把每次的誤差都累加起來(lái)）。如上文2秒鐘一通知，30秒會(huì )通知15次，這15次測量的距離誤差都加起來(lái)。，開(kāi)始的時(shí)候距離比較遠，積分項會(huì )給阿喀琉斯帶來(lái)更快的速度指令，但由于是考慮了之前的誤差正向的，所以即使剛剛跑過(guò)了，15次誤差的和還是正向的，所以會(huì )一直指導阿喀琉斯向前沖到下圖1的位置，這個(gè)時(shí)候過(guò)去的累積誤差已經(jīng)是負的了，才要求阿喀琉斯向后跑，整個(gè)向后的過(guò)程又重復之前的累積誤差，直到?jīng)_到下圖2的位置才向前，所以最后的效果就是1-2-3-4-5，阿喀琉斯慢慢的向烏龜靠近，隨著(zhù)時(shí)間的推移，誤差越來(lái)越小，最后達到消除了穩態(tài)誤差。

▲比例積分PI模型參考圖

然而在上一個(gè)PI模型下，我們是否察覺(jué)阿喀琉斯來(lái)回跑的次數太多了？明明已經(jīng)超過(guò)了烏龜很遠了，還不回頭（阿喀琉斯：PID控制器讓我這么做的，你以為我不想回頭嗎?。?。為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要引入微分分量，就是解決對未來(lái)趨勢預測的問(wèn)題，高等數學(xué)中講到過(guò)微分就是求導，已知位置對時(shí)間的導數就是速度，速度對時(shí)間的導數就是加速度。用前一次誤差減去當前次誤差，如果有變化，因為測量的時(shí)間段相同，所以就意味著(zhù)誤差改變率發(fā)生了變化，就能預測未來(lái)下一次可能出現的誤差會(huì )是什么樣，就像我們知道了加速度的變化就可以推測速度的趨勢是一個(gè)道理。按上面PI的算法，前一次誤差假設是5%，當前誤差是3%，因為是每?jì)擅腌姕y量一次，所以計算的微分項是3%減去5%，再除以時(shí)間，得到-1%的的積分項，如果積分時(shí)間是30秒，代表這樣的積分效果要持續30秒時(shí)間。這樣當阿喀琉斯越靠近烏龜，減少效果越明顯，當阿喀琉斯超過(guò)了烏龜的位置，比如超過(guò)了1%，那么微分項是-1%減去之前的3%，再除以采樣時(shí)間2秒，得到-2%的減速項，這樣的減速效果還要持續30秒的時(shí)間，可以看到增加了微分項能有效減少阿喀琉斯超出烏龜的位置，如下圖13，只要找到合適的微分時(shí)間就能使阿喀琉斯提前減速，在剛剛超越烏龜的時(shí)候就往回返，快速穩定的和烏龜保持同一位置。

▲比例積分PID模型參考圖

最后我們動(dòng)態(tài)的顯示下，追趕過(guò)程中各個(gè)參數的變化對追趕路徑的影響，下圖紅線(xiàn)表示烏龜的位置，藍色線(xiàn)表示阿喀琉斯的追趕位置。

▲比例積分PID模型參數變化效果模擬圖

阿喀琉斯沒(méi)有發(fā)生類(lèi)似于龜兔賽跑的“悲劇”，善跑的稱(chēng)號得以保留。由此，在上面的例子里我們知道了PID的控制就是要對執行機構有非常細致的了解，并且找到與受控系統相匹配的參數。那么在實(shí)際生活中用到的各個(gè)系統，都非常復雜，如何找到合適的參數，達到預想的控制效果呢？下面就介紹一下典型的受控系統類(lèi)型的經(jīng)驗參數選擇和電腦自適應調參數的過(guò)程。

▲特定受控系統的一般參數

了解了各個(gè)物理量的性能特性，就像知曉了阿喀琉斯的跑步能力，再根據需要選擇合適的控制器類(lèi)型和參數。

下表概述了控制器結構與物理量的各種組合的適宜性。

▲特定物理量的控制器結構推薦

知道適用規則了，還有很多在實(shí)際項目中的參數設置的經(jīng)驗（Gain表示比例參數）

如果控制器具有PID結構，則積分作用時(shí)間的設置和微分作用時(shí)間的設置通常會(huì )相互結合。比率TI/TD介于4和5之間，這對于大多數受控系統都是最優(yōu)的。

對于PI和PID控制器，如果大部分情況下選擇的積分作用時(shí)間TI過(guò)短，則會(huì )發(fā)生控制振蕩。如果積分作用時(shí)間過(guò)長(cháng)，則會(huì )降低干擾的穩定速度。因此，不要希望進(jìn)行第一次參數設置后，控制回路工作狀態(tài)就能達到“最優(yōu)”狀態(tài)。經(jīng)驗表明，當系統處于Tu / Tg > 0.3 “難以控制”狀態(tài)時(shí)，進(jìn)行調整是很必要的。

那么除了經(jīng)驗參數，有沒(méi)有辦法讓控制器自動(dòng)尋找PID參數呢?當然也有，西門(mén)子S7-1200和S7-1500系列PLC都支持PID自調節功能。

只要連接好受控系統輸出的執行機構，做好設定值和反饋值的連接，就可以開(kāi)始做自動(dòng)尋找參數的過(guò)程了。尋找參數可以分為預調節和精確調節。

預調節功能可確定對輸出值跳變的過(guò)程響應，并搜索拐點(diǎn)。根據受控系統的最大上升速率與時(shí)間計算PID參數?？稍趫绦蓄A調節后再執行精確調節時(shí)獲得最佳PID參數。

▲PID預調節的七個(gè)階段圖

▲PID預調節的具體過(guò)程圖

▲PID精確調節的階段圖

▲PID預調節的具體過(guò)程圖

如果很多情況下不能具備連接現場(chǎng)實(shí)際設備來(lái)做PID參數自整定，也可以用一個(gè)功能塊通過(guò)PLC程序仿真一下執行機構，將仿真的執行機構執行的效果連同PID控制塊進(jìn)行離線(xiàn)的參數自整定，當然這樣做出來(lái)的參數只是為了驗證邏輯和學(xué)習控制器，到真實(shí)的項目應用還需要重新做自整定的。

具體仿真過(guò)程需借助西門(mén)子博圖軟件的“PID_Compact”塊和“LSim”仿真庫，圖為 S7-1500 實(shí)現一個(gè)閉環(huán)控制系統。PC 站用于將控制回路可視化，PG 用于組態(tài)。

▲離線(xiàn)仿真PID過(guò)程對象模擬

▲離線(xiàn)仿真PID過(guò)程對象模擬

大家可能會(huì )好奇自控原理在生活里的應用是什么？水壺燒水自動(dòng)斷電，冰箱壓縮機的啟停等、馬桶的自動(dòng)沖水、變頻空調，都源自自控原理最簡(jiǎn)單的PID控制，其實(shí)現實(shí)中，我們雖然都在使用反饋的思想，就比如人們常說(shuō)的和面，怎么能知道面和水的比例是多少呢，就靠手來(lái)感覺(jué)，面多了加水，水多了加面。這種系統就是非自調節的受控系統，如果掌握不好度水會(huì )一直加下去。又不能把多加的水抽出來(lái)，所以只能下次積累點(diǎn)經(jīng)驗，這次的不調節范圍放大，水多就水多點(diǎn)吧也不加面了。用結果指導下次的動(dòng)作但很難找到完全的合適的受控系統。

PID原理是清楚了，至于什么情況用什么PID模型，還是查表，我們家用的水壺燒水控制的物理量是溫度，看上面表格推薦PD是非常適用，為什么呢？因為目前咱們的溫度檢測點(diǎn)比較慢，水都已經(jīng)到設定溫度了，檢測的溫度還沒(méi)到，或者水壺都已經(jīng)斷電了，溫度還在上升，這都是滯后造成的。

總體說(shuō)來(lái)，PID控制器簡(jiǎn)單易懂，使用中不需精確的系統模型等先決條件，因而成為應用最為廣泛的控制器。但是，PID也不是全能的哦。很重要的一點(diǎn)是因為, PID控制器主要適用于基本上線(xiàn)性，且動(dòng)態(tài)特性不隨時(shí)間變化的系統，但是對復雜非線(xiàn)性系統和復雜信號追蹤，還是有局限性的。